Калькулятор онлайн.
Решение арифметической прогрессии.
Дано: a n , d, n
Найти: a 1
Эта математическая программа находит \(a_1\) арифметической прогрессии, исходя из заданных пользователем чисел \(a_n, d \) и \(n \).
Числа \(a_n\) и \(d \) можно задать не только целые, но и дробные. Причём, дробное число можно ввести в виде десятичной
дроби (\(2,5 \)) и в виде обыкновенной дроби (\(-5\frac{2}{7} \)).
Программа не только даёт ответ задачи, но и отображает процесс нахождения решения.
Этот калькулятор онлайн может быть полезен учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.
Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.
Если вы не знакомы с правилами ввода чисел, рекомендуем с ними ознакомиться.
Правила ввода чисел
Числа \(a_n\) и \(d \) можно задать не только целые, но и дробные.
Число \(n \) может быть только целым положительным.
Правила ввода десятичных дробей.
Целая и дробная часть в десятичных дробях может разделяться как точкой так и запятой.
Например, можно вводить десятичные дроби так 2.5
или так 2,5
Правила ввода обыкновенных дробей.
В качестве числителя, знаменателя и целой части дроби может выступать только целое число.
Знаменатель не может быть отрицательным.
При вводе числовой дроби числитель отделяется от знаменателя знаком деления: /
Ввод:
Результат: \(-\frac{2}{3} \)
Целая часть отделяется от дроби знаком амперсанд: &
Ввод:
Результат: \(-1\frac{2}{3} \)
Обнаружено что не загрузились некоторые скрипты, необходимые для решения этой задачи, и программа может не работать.
Возможно у вас включен AdBlock.
В этом случае отключите его и обновите страницу.
Чтобы решение появилось нужно включить JavaScript.
Вот инструкции, как включить JavaScript в вашем браузере .
Т.к. желающих решить задачу очень много, ваш запрос поставлен в очередь.
Через несколько секунд решение появится ниже.
Пожалуйста подождите сек...
Если вы заметили ошибку в решении
, то об этом вы можете написать в Форме обратной связи .
Не забудте указать какую задачу
вы решаете и что вводите в поля
.
Наши игры, головоломки, эмуляторы:
Немного теории.
Числовая последовательность
В повседневной практике часто используется нумерация различных предметов, чтобы указать порядок их расположения. Например, дома на каждой улице нумеруются. В библиотеке нумеруются читательские абонементы и затем располагаются в порядке присвоенных номеров в специальных картотеках.
В сберегательном банке по номеру лицевого счёта вкладчика можно легко найти этот счёт и посмотреть, какой вклад на нём лежит.
Пусть на счёте № 1 лежит вклад а1 рублей, на счёте № 2 лежит вклад а2 рублей и т. д. Получается числовая последовательность
a 1 , a 2 , a 3 , ..., a N
где N - число всех счетов. Здесь каждому натуральному числу n от 1 до N поставлено в соответствие число a n .
В математике также изучаются бесконечные числовые последовательности:
a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n , ... .
Число a 1 называют первым членом последовательности
, число a 2 - вторым членом последовательности
,
число a 3 - третьим членом последовательности
и т. д.
Число a n называют n-м (энным) членом последовательности
, а натуральное число n - его номером
.
Например, в последовательности квадратов натуральных чисел 1, 4, 9, 16, 25, ..., n 2 , (n + 1) 2 , ... а 1 = 1 - первый член последовательности; а n = n 2 является n-м членом последовательности; a n+1 = (n + 1) 2 является (n + 1)-м (эн плюс первым) членом последовательности. Часто последовательность можно задать формулой её n-го члена. Например, формулой \(a_n=\frac{1}{n}, \; n \in \mathbb{N} \) задана последовательность \(1, \; \frac{1}{2} , \; \frac{1}{3} , \; \frac{1}{4} , \dots,\frac{1}{n} , \dots \)
Арифметическая прогрессия
Продолжительность года приблизительно равна 365 суткам. Более точное значение равно \(365\frac{1}{4} \) суток, поэтому каждые четыре года накапливается погрешность, равная одним суткам.
Для учёта этой погрешности к каждому четвёртому году добавляются сутки, и удлинённый год называют високосным.
Например, в третьем тысячелетии високосными годами являются годы 2004, 2008, 2012, 2016, ... .
В этой последовательности каждый её член, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом 4. Такие последовательности называют арифметическими прогрессиями .
Определение.
Числовая последовательность a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n , ... называется арифметической
прогрессией
, если для всех натуральных n выполняется равенство
\(a_{n+1} = a_n+d, \)
где d - некоторое число.
Из этой формулы следует, что a n+1 - a n = d. Число d называют разностью арифметической прогрессии .
По определению арифметической прогрессии имеем:
\(a_{n+1}=a_n+d, \quad a_{n-1}=a_n-d, \)
откуда
\(a_n= \frac{a_{n-1} +a_{n+1}}{2} \), где \(n>1 \)
Таким образом, каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому двух соседних с ним членов. Этим объясняется название «арифметическая» прогрессия.
Отметим, что если a 1 и d заданы, то остальные члены арифметической прогрессии можно вычислить по рекуррентной
формуле a n+1 = a n + d. Таким способом нетрудно вычислить несколько первых членов прогрессии, однако, например,
для a 100 уже потребуется много вычислений. Обычно для этого используется формула n-го члена. По определению арифметической
прогрессии
\(a_2=a_1+d, \)
\(a_3=a_2+d=a_1+2d, \)
\(a_4=a_3+d=a_1+3d \)
и т.д.
Вообще,
\(a_n=a_1+(n-1)d, \)
так как n-й член арифметической прогрессии получается из первого члена прибавлением (n-1) раз числа d.
Эту формулу называют формулой n-го члена арифметической прогрессии
.
Сумма n первых членов арифметической прогрессии
Найдём сумму всех натуральных чисел от 1 до 100.
Запишем эту сумму двумя способами:
S = l + 2 + 3 + ... + 99 + 100,
S = 100 + 99 + 98 + ... + 2 + 1.
Сложим почленно эти равенства:
2S = 101 + 101 + 101 + ... + 101 + 101.
В этой сумме 100 слагаемых
Следовательно, 2S = 101 * 100, откуда S = 101 * 50 = 5050.
Рассмотрим теперь произвольную арифметическую прогрессию
a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n , ...
Пусть S n - сумма n первых членов этой прогрессии:
S n = a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n
Тогда сумма n первых членов арифметической прогрессии равна
\(S_n = n \cdot \frac{a_1+a_n}{2} \)
Так как \(a_n=a_1+(n-1)d \), то заменив в этой формуле a n получим еще одну формулу для нахождения суммы n первых
членов арифметической прогрессии
:
\(S_n = n \cdot \frac{2a_1+(n-1)d}{2} \)
Понятие числовой последовательности подразумевает соответствие каждому натуральному числу некоторого действительного значения. Такой ряд чисел может быть как произвольным, так и обладать определенными свойствами – прогрессия. В последнем случае каждый последующий элемент (член) последовательности можно вычислить с помощью предыдущего.
Арифметическая прогрессия – последовательность числовых значений, в которой ее соседние члены разнятся между собой на одинаковое число (подобным свойством обладают все элементы ряда, начиная со 2-ого). Данное число – разница между предыдущим и последующим членом – постоянно и называется разностью прогрессии.
Разность прогрессии: определение
Рассмотрим последовательность, состоящую из j значений A = a(1), a(2), a(3), a(4) … a(j), j принадлежит множеству натуральных чисел N. Арифметическая прогрессия, согласно своего определения, – последовательность, в которой a(3) – a(2) = a(4) – a(3) = a(5) – a(4) = … = a(j) – a(j-1) = d. Величина d – искомая разность данной прогрессии.
d = a(j) – a(j-1).
Выделяют:
- Возрастающую прогрессию, в таком случае d > 0. Пример: 4, 8, 12, 16, 20, …
- Убывающую прогрессию, тогда d < 0. Пример: 18, 13, 8, 3, -2, …
Разность прогрессии и ее произвольные элементы
Если известны 2 произвольных члена прогрессии (i-ый, k-ый), то установить разность для данной последовательности можно на базе соотношения:
a(i) = a(k) + (i – k)*d, значит d = (a(i) – a(k))/(i-k).
Разность прогрессии и ее первый член
Данное выражение поможет определить неизвестную величину лишь в случаях, когда известен номер элемента последовательности.
Разность прогрессии и ее сумма
Сумма прогрессии – это сумма ее членов. Для вычисления суммарного значения ее первых j элементов воспользуйтесь соответствующей формулой:
S(j) =((a(1) + a(j))/2)*j, но т.к. a(j) = a(1) + d(j – 1), то S(j) = ((a(1) + a(1) + d(j – 1))/2)*j=((2a(1) + d(– 1))/2)*j.
Кто-то к слову «прогрессия» относится настороженно, как к очень сложному термину из разделов высшей математики. А между тем самая простая арифметическая прогрессия - работа счётчика такси (где они ещё остались). И понять суть (а в математике нет ничего важнее, чем «понять суть») арифметической последовательности не так сложно, разобрав несколько элементарных понятий.
Математическая числовая последовательность
Числовой последовательностью принято именовать какой-либо ряд чисел, каждое из которых имеет свой номер.
а 1 - первый член последовательности;
а 2 - второй член последовательности;
а 7 - седьмой член последовательности;
а n - n-ный член последовательности;
Однако не любой произвольный набор цифр и чисел интересует нас. Наше внимание сосредоточим на числовой последовательности, у которой значение n-ного члена связано с его порядковым номером зависимостью, которую можно чётко сформулировать математически. Иными словами: численное значение n-ного номера является какой-либо функцией от n.
a - значение члена числовой последовательности;
n - его порядковый номер;
f(n) - функция, где порядковый номер в числовой последовательности n является аргументом.
Определение
Арифметической прогрессией принято именовать числовую последовательность, в которой каждый последующий член больше (меньше) предыдущего на одно и то же число. Формула n-ного члена арифметической последовательности выглядит следующим образом:
a n - значение текущего члена арифметической прогрессии;
a n+1 - формула следующего числа;
d - разность (определённое число).
Нетрудно определить, что если разность положительна (d>0), то каждый последующий член рассматриваемого ряда будет больше предыдущего и такая арифметическая прогрессия будет возрастающей.
На представленном ниже графике нетрудно проследить, почему числовая последовательность получила название «возрастающая».
В случаях, когда разность отрицательная (d<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.
Значение заданного члена
Иногда бывает необходимо определить значение какого-либо произвольного члена a n арифметической прогрессии. Можно сделать это путём расчёта последовательно значений всех членов арифметической прогрессии, начиная с первого до искомого. Однако такой путь не всегда приемлем, если, например, необходимо отыскать значение пятитысячного или восьмимиллионного члена. Традиционный расчёт сильно затянется по времени. Однако конкретная арифметическая прогрессия может быть исследована с помощью определённых формул. Существует и формула n-ного члена: значение любого члена арифметической прогрессии может быть определено как сумма первого члена прогрессии с разностью прогрессии, умноженной на номер искомого члена, уменьшенный на единицу.
Формула универсальна для возрастающей и убывающей прогрессии.
Пример расчёта значения заданного члена
Решим следующую задачу на нахождение значения n-ного члена арифметической прогрессии.
Условие: имеется арифметическая прогрессия с параметрами:
Первый член последовательности равен 3;
Разность числового ряда равняется 1,2.
Задание: необходимо отыскать значение 214 члена
Решение: для определения значения заданного члена воспользуемся формулой:
а(n) = а1 + d(n-1)
Подставив в выражение данные из условия задачи имеем:
а(214) = а1 + d(n-1)
а(214) = 3 + 1,2 (214-1) = 258,6
Ответ: 214-ый член последовательности раве 258,6.
Преимущества такого способа расчёта очевидны - всё решение занимает не более 2 строчек.
Сумма заданного числа членов
Очень часто в заданном арифметическом ряду требуется определить сумму значений некоторого его отрезка. Для этого также нет необходимости вычислять значения каждого члена и затем суммировать. Такой способ применим, если число членов, сумму которых необходимо найти, невелико. В остальных случаях удобнее воспользоваться следующей формулой.
Сумма членов арифметической прогрессии от 1 до n равна сумме первого и n-ного членов, помноженной на номер члена n и делённой надвое. Если в формуле значение n-ного члена заменить на выражение из предыдущего пункта статьи, получим:
Пример расчёта
Для примера решим задачу со следующими условиями:
Первый член последовательности равен нулю;
Разность равняется 0,5.
В задаче требуется определить сумму членов ряда с 56-го по 101.
Решение. Воспользуемся формулой определения суммы прогрессии:
s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2
Вначале определим сумму значений 101 члена прогрессии, подставив в формулу данные их условия нашей задачи:
s 101 = (2∙0 + 0,5∙(101-1))∙101/2 = 2 525
Очевидно, для того, чтобы узнать сумму членов прогрессии с 56-го по 101-й, необходимо от S 101 отнять S 55 .
s 55 = (2∙0 + 0,5∙(55-1))∙55/2 = 742,5
Таким образом сумма арифметической прогрессии для данного примера:
s 101 - s 55 = 2 525 - 742,5 = 1 782,5
Пример практического применения арифметической прогрессии
В конце статьи вернёмся к примеру арифметической последовательности, приведённому в первом абзаце - таксометр (счётчик автомобиля такси). Рассмотрим такой пример.
Посадка в такси (в которую входит 3 км пробега) стоит 50 рублей. Каждый последующий километр оплачивается из расчёта 22 руб./км. Расстояние поездки 30 км. Рассчитать стоимость поездки.
1. Отбросим первые 3 км, цена которых включена в стоимость посадки.
30 - 3 = 27 км.
2. Дальнейший расчет - не что иное как разбор арифметического числового ряда.
Номер члена - число км пробега (минус первые три).
Значение члена - сумма.
Первый член в данной задаче будет равен a 1 = 50 р.
Разность прогрессии d = 22 р.
интересующее нас число - значение (27+1)-ого члена арифметической прогрессии - показания счётчика в конце 27-го километра - 27,999… = 28 км.
a 28 = 50 + 22 ∙ (28 - 1) = 644
На формулах, описывающих те или иные числовые последовательности, построены расчёты календарных данных на сколь угодно длительный период. В астрономии в геометрической зависимости от расстояния небесного тела до светила находится длина орбиты. Кроме того, различные числовые ряды с успехом применяются в статистике и других прикладных разделах математики.
Другой вид числовой последовательности - геометрическая
Геометрическая прогрессия характеризуется большими, по сравнению с арифметической, темпами изменения. Не случайно в политике, социологии, медицине зачастую, чтобы показать большую скорость распространения того или иного явления, например заболевания при эпидемии, говорят, что процесс развивается в геометрической прогрессии.
N-ный член геометрического числового ряда отличается от предыдущего тем, что он умножается на какое-либо постоянное число - знаменатель, например первый член равен 1, знаменатель соответственно равен 2, тогда:
n=1: 1 ∙ 2 = 2
n=2: 2 ∙ 2 = 4
n=3: 4 ∙ 2 = 8
n=4: 8 ∙ 2 = 16
n=5: 16 ∙ 2 = 32,
b n - значение текущего члена геометрической прогрессии;
b n+1 - формула следующего члена геометрической прогрессии;
q - знаменатель геометрической прогрессии (постоянное число).
Если график арифметической прогрессии представляет собой прямую, то геометрическая рисует несколько иную картину:
Как и в случае с арифметической, геометрическая прогрессия имеет формулу значения произвольного члена. Какой-либо n-ный член геометрической прогрессии равен произведению первого члена на знаменатель прогрессии в степени n уменьшенного на единицу:
Пример. Имеем геометрическую прогрессию с первым членом равным 3 и знаменателем прогрессии, равным 1,5. Найдём 5-й член прогрессии
b 5 = b 1 ∙ q (5-1) = 3 ∙ 1,5 4 = 15,1875
Сумма заданного числа членов рассчитывается так же с помощью специальной формулы. Сумма n первых членов геометрической прогрессии равна разности произведения n- ного члена прогрессии на его знаменатель и первого члена прогрессии, делённой на уменьшенный на единицу знаменатель:
Если b n заменить пользуясь рассмотренной выше формулой, значение суммы n первых членов рассматриваемого числового ряда примет вид:
Пример. Геометрическая прогрессия начинается с первого члена, равного 1. Знаменатель задан равным 3. Найдём сумму первых восьми членов.
s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280
Арифметической прогрессией называют последовательность чисел (членов прогрессии)
В которой каждый последующий член отличается от предыдущего на сталое слагаемое, которое еще называют шагом или разницей прогрессии .
Таким образом, задавая шаг прогрессии и ее первый член можно найти любой ее элемент по формуле
Свойства арифметической прогрессии
1) Каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго номера является средним арифметическим от предыдущего и следующего члена прогрессии
Обратное утверждение также верно. Если среднее арифметическое соседних нечетных (четных) членов прогрессии равно члену, который стоит между ними, то данная последовательность чисел является арифметической прогрессией. По этим утверждением очень просто проверить любую последовательность.
Также по свойству арифметической прогрессии, приведенную выше формулу можно обобщить до следующей
В этом легко убедиться, если расписать слагаемые справа от знака равенства
Ее часто применяют на практике для упрощения вычислений в задачах.
2) Сумма n первых членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле
Запомните хорошо формулу суммы арифметической прогрессии, она незаменима при вычислениях и довольно часто встречается в простых жизненных ситуациях.
3) Если нужно найти не всю сумму, а часть последовательности начиная с k -го ее члена, то в Вам пригодится следующая формула суммы
4) Практический интерес представляет отыскание суммы n членов арифметической прогрессии начиная с k -го номера. Для этого используйте формулу
На этом теоретический материал заканчивается и переходим к решению распространенных на практике задач.
Пример 1. Найти сороковой член арифметической прогрессии 4;7;...
Решение:
Согласно условию имеем
Определим шаг прогрессии
По известной формуле находим сороковой член прогрессии
Пример2. Арифметическая прогрессия задана третьим и седьмым ее членом . Найти первый член прогрессии и сумму десяти.
Решение:
Распишем заданные элементы прогрессии по формулам
От второго уравнения вычтем первое, в результате найдем шаг прогрессии
Найденное значение подставляем в любое из уравнений для отыскания первого члена арифметической прогрессии
Вычисляем сумму первых десяти членов прогрессии
Не применяя сложных вычислений ми нашли все искомые величины.
Пример 3. Арифметическую прогрессию задано знаменателем и одним из ее членов . Найти первый член прогрессии, сумму 50 ее членов начиная с 50 и сумму 100 первых.
Решение:
Запишем формулу сотого элемента прогрессии
и найдем первый
На основе первого находим 50 член прогрессии
Находим сумму части прогрессии
и сумму первых 100
Сумма прогрессии равна 250.
Пример 4.
Найти число членов арифметической прогрессии, если:
а3-а1=8, а2+а4=14, Sn=111.
Решение:
Запишем уравнения через первый член и шаг прогрессии и определим их
Полученные значения подставляем в формулу суммы для определения количества членов в сумме
Выполняем упрощения
и решаем квадратное уравнение
Из найденных двух значений условии задачи подходит только число 8 . Таким образом сумма первых восьми членов прогрессии составляет 111.
Пример 5.
Решить уравнение
1+3+5+...+х=307.
Решение: Данное уравнение является суммой арифметической прогрессии. Выпишем первый ее член и найдем разницу прогрессии
Задачи по арифметической прогрессии существовали уже в глубокой древности. Они появлялись и требовали решения, поскольку имели практическую необходимость.
Так, в одном из папирусов Древнего Египта, имеющем математическое содержание, - папирусе Райнда (XIX век до нашей эры) - содержится такая задача: раздели десять мер хлеба на десять человек, при условии если разность между каждым из них составляет одну восьмую меры».
И в математических трудах древних греков встречаются изящные теоремы, имеющие отношение к арифметической прогрессии. Так, Гипсикл Александрийский (II век составивший немало интересных задач и добавивший четырнадцатую книгу к «Началам» Евклида, сформулировал мысль: «В арифметической прогрессии, имеющей четное число членов, сумма членов 2-ой половины больше суммы членов 1-ой на квадрату 1/2 числа членов».
Обозначается последовательность an. Числа последовательности называются ее членами и обозначаются обычно буквами с индексами, которые указывают порядковый номер этого члена (a1, a2, a3 … читается: «a 1-ое», «a 2-ое», «a 3-тье» и так далее).
Последовательность может быть бесконечной или конечной.
А что же такое арифметическая прогрессия? Под ней понимают получаемую сложением предыдущего члена (n) с одним и тем же числом d, являющимся разностью прогрессии.
Если d<0, то мы имеем убывающую прогрессию. Если d>0, то такая прогрессия считается возрастающей.
Арифметическая прогрессия называется конечной, если учитываются только несколько ее первых членов. При очень большом количестве членов это уже бесконечная прогрессия.
Задается любая арифметическая прогрессия следующей формулой:
an =kn+b, при этом b и k - некоторые числа.
Абсолютно верно утверждение, являющееся обратным: если последовательность задается подобной формулой, то это точно арифметическая прогрессия, которая имеет свойства:
- Каждый член прогрессии - среднее арифметическое предыдущего члена и последующего.
- Обратное: если, начиная со 2-ого, каждый член - среднее арифметическое предыдущего члена и последующего, т.е. если выполняется условие, то данная последовательность - арифметическая прогрессия. Это равенство одновременно является и признаком прогрессии, поэтому его, как правило, называют характеристическим свойством прогрессии.
Точно так же верна теорема, которая отражает это свойство: последовательность - арифметическая прогрессия только в том случае, если это равенство верно для любого из членов последовательности, начиная со 2-ого.
Характеристическое свойство для четырёх любых чисел арифметической прогрессии может быть выражено формулой an + am = ak + al, если n + m = k + l (m, n, k - числа прогрессии).
В арифметической прогрессии любой необходимый (N-й) член найти можно, применяя следующую формулу:
К примеру: первый член (a1) в арифметической прогрессии задан и равен трём, а разность (d) равняется четырём. Найти нужно сорок пятый член этой прогрессии. a45 = 1+4(45-1)=177
Формула an = ak + d(n - k) позволяет определить n-й член арифметической прогрессии через любой ее k-тый член при условии, если он известен.
Сумма членов арифметической прогрессии (подразумевается 1-ые n членов конечной прогрессии) вычисляется следующим образом:
Sn = (a1+an) n/2.
Если известны и 1-ый член, то для вычисления удобна другая формула:
Sn = ((2a1+d(n-1))/2)*n.
Сумма арифметической прогрессии, которая содержит n членов, подсчитывается таким образом:
Выбор формул для расчетов зависит от условий задач и исходных данных.
Натуральный ряд любых чисел, таких как 1,2,3,...,n,...- простейший пример арифметической прогрессии.
Помимо арифметической прогрессии существует еще и геометрическая, которая обладает своими свойствами и характеристиками.
