Невозможные фигуры - особый вид объектов в изобразительном искусстве. Как правило их называют так, потому что они не могут существовать в реальном мире.

Более точно, невозможными фигурами называют геометрические объекты, нарисованные на бумаге, которые прозводят впечатление обычной проекции трехмерного объекта, однако, при внимательном рассмотрении становятся видны противоречия в соединениях элементов фигуры.

Невозможные фигуры выделяют в отдельный класс оптических иллюзий.

Невозможные конструкции известны с давних времен. Они встречаются в иконах со средних веков. "Отцом" невозможных фигур считается шведский художник Оскар Реутерсвард , который нарисовал невозможный треугольник, составленный из кубиков в 1934 году.

Известны широкой публике невозможные фигуры стали в 50-х годах прошлого века, после публикации статьи Роджера Пенроуза и Лайонела Пенроуза, в которой были описаны две базовые фигуры - невозможный треугольник (который также называют треугольником Пенроуза ) и бесконечная лестница. Эта статья попала в руки известного голландского художника М.К. Эшера , который вдохновленный идеей невозможных фигур создал свои знаменитые литографии "Водопад", "Восхождение и спуск" и "Бельведер". Вслед за ним огромное количество художников по всему миру стали использовать невозможные фигуры в своем творчестве. Наиболее известны среди них Жос де Мей, Сандро дель Пре, Оштван Орос. Работы этих, а также других художников, выделяют в отдельное направление изобразительного искусства - " имп-арт " .

Может показаться, что невозможные фигуры действительно не могут существовать в трехмерном пространстве. Есть определенные способы, которые позволяют воспроизвести невозможные фигуры в реальном мире, правда они будут выглядет невозможными только с одной точки обзора.

Наиболее известными невозможными фигурами являются: невозможный треугольник, бесконечная лестница и невозможный трезубец.

Статья из журнала Наука и жизнь "Невозможная реальность" скачать

Оскар Рутерсвард (принятое в русскоязычной литературе написание фамилии; правильнее Рёйтерсверд), (1 915 - 2002) - шведский художник, специализировавшийся в изображении невозможных фигур, то есть таких, которые можно изобразить, но нельзя создать. Одна из его фигур получила дальнейшее развитие как «треугольник Пенроуза».

С 1964 профессор истории и теории искусств в Лундском университете.

Большое влияние на Рутерсварда оказали уроки русского иммигранта профессора Академии Искусств в Санкт-Петербурге Михаила Каца. Первую невозможную фигуру - невозможный треугольник, составленный из набора кубиков, создал случайно в 1934. В дальнейшем за годы творчества нарисовал более 2500 различных невозможных фигур. Все они выполнены в параллельной «японской» перспективе.

В 1980 году шведским правительством была выпущена серия из трёх почтовых марок с картинами художника.

Кандидат технических наук Д. РАКОВ (Институт машиноведения им. А. А. Благонравова РАН).

Существует большой класс изображений, про которые можно сказать: "Что видим? Нечто странное" . Это и рисунки с искаженной перспективой, и невозможные в нашем трехмерном мире объекты, и немыслимые сочетания вполне реальных предметов. Появившись в начале XI века, такие "странные" рисунки и фотографии сегодня стали целым направлением искусства, именуемого имп-артом.

Вильям Хогард. "Невозможная перспектива", где намеренно сделано по меньшей мере четырнадцать ошибок в перспективе.

Мадонна с младенцем. 1025 год.

Питер Брейгель. "Сорока на виселице". 1568 год.

Оскар Рутесвард. "Opus 1" (№293aa). 1934 год.

Оскар Рутесвард. "Opus 2В". 1940 год.

Мауриц Корнелиус Эшер. "Восхождение и спуск".

Роджер Пенроуз. "Невозможный треугольник". 1954 год.

Построение "невозможного треугольника".

Скульптура "Невозможный треугольник", вид с разных сторон. Она построена из криволинейных элементов и выглядит невозможной только из одной точки.

Илл. 1. Морфологическая таблица классификации невозможных объектов.

Человек начинает осмотр картины с нижнего левого угла (1), затем переводит взгляд сначала к середине (2), а потом в точку 3.

В зависимости от направления взгляда мы видим разные объекты.

Невозможный алфавит - комбинация из возможных и невозможных фигур, среди которых есть даже элемент рамки. Рисунок автора.

Наука и жизнь // Иллюстрации

"Москва" (схема линий метрополитена) и "Две линии судьбы". Рисунки автора; компьютерная обработка. 2003 год. Рисунки демонстрируют новые возможности для построения схем и графиков.

Наука и жизнь // Иллюстрации

Куб в кубе ("Три улитки"). Повернутое изображение обладает большей степенью "невозможности", чем исходное.

"Чертова вилка". На основе этой фигуры создано множество невозможных изображений.

Что мы видим - пирамиду или проем?

Немного истории

Картины с искаженной перспективой встречаются уже в начале первого тысячелетия. На миниатюре из книги Генриха II, созданной до 1025 года и хранящейся в баварской государственной библиотеке в Мюнхене, нарисована Мадонна с младенцем. На картине изображен свод, состоящий из трех колонн, причем средняя колонна по законам перспективы должна располагаться впереди Мадонны, но находится за ней, что придает картине эффект сюрреалистичности. Мы, к сожалению, никогда не узнаем, был ли этот прием сознательным поступком художника или же его ошибкой.

Изображения невозможных фигур, не как сознательное направление в живописи, а как приемы, усиливающие эффект от восприятия изображения, встречаются у ряда живописцев Средних веков. На полотне Питера Брейгеля (Pieter Breughel) "Сорока на виселице", созданном в 1568 году, видна виселица невозможной конструкции, которая придает эффект всей картине в целом. На широко известной гравюре английского художника XVIII века Вильяма Хогарта (William Hogarth) "Фальшивая перспектива" показано, к какому абсурду может привести художника незнание законов перспективы.

В начале XX века художник Марсель Дюшамп (Marcel Duchamp) нарисовал рекламную картину "Apolinere enameled" (1916-1917), хранящуюся в Филадельфийском музее искусства. В конструкции кровати на полотне можно разглядеть невозможные трех- и четырехугольники.

Основателем направления невозможного искусства - имп-арта (imp-art, impossible art) по праву называют шведского художника Оскара Рутесварда (Oscar Reutersvard). Первая невозможная фигура "Opus 1" (N 293aa) нарисована мастером в 1934 году. Треугольник составлен из девяти кубиков. Опыты с необычными объектами художник продолжил и в 1940 году создал фигуру "Opus 2B", представляющую собой редуцированный невозможный треугольник, состоящий всего из трех кубиков. Все кубики реальны, но их расположение в трехмерном пространстве невозможно.

Этот же художник создал и прототип "невозможной лестницы" (1950). Самую известную классическую фигуру "Невозможный треугольник" английский математик Роджер Пенроуз (Roger Penrose) сотворил в 1954 году. Он использовал линейную перспективу, а не параллельную, как Рутесвард, что придало картине глубину и выразительность и, следовательно, большую степень невозможности.

Наиболее известным художником имп-арта стал М. К. Эшер (M. C. Escher). Среди наиболее известных его произведений - картины "Водопад" ("Waterfall") (1961) и "Восхождение и спуск" ("Ascending and Descending"). Художник использовал эффект "бесконечной лестницы", открытый Рутесвардом и в дальнейшем дополненный Пенроузом. На полотне изображены два ряда человечков: при движении по часовой стрелке человечки постоянно поднимаются, а при движении против часовой стрелки спускаются.

Немного геометрии

Существует множество способов создания оптических иллюзий (от латинского слова "iliusio" - ошибка, заблуждение - неадекватное восприятие предмета и его свойств). Одним из наиболее эффектных является направление имп-арта, основанное на изображениях невозможных фигур. Невозможные объекты представляют собой рисунки на плоскости (двухмерные изображения), исполненные так, что у зрителя создается впечатление о невозможности существования подобной структуры в нашем реальном трехмерном мире. Классическая, как уже говорилось, и одна из самых простых подобных фигур - невозможный треугольник. Каждая часть фигуры (углы треугольника) по отдельности существует в нашем мире, но их комбинация в трехмерном пространстве невозможна. Восприятие всей фигуры как композиции неправильных соединений между ее реальными частями ведет к обманчивому эффекту невозможной структуры. Взгляд скользит по граням невозможной фигуры и не способен воспринять ее как логическое целое. В действительности взгляд пытается восстановить реальную трехмерную структуру (см. рисунок), но наталкивается на несоответствие.

С геометрической точки зрения невозможность треугольника состоит в том, что три балки, соединенные попарно одна с другой, но по трем разным осям декартовой системы координат, образуют замкнутую фигуру!

Процесс восприятия невозможных объектов делится на два этапа: опознание фигуры как трехмерного объекта и осознание "неправильности" объекта и невозможности его существования в трехмерном мире.

Существование невозможных фигур

Многие полагают, что невозможные фигуры действительно невозможны и их нельзя создать в реальном мире. Но надо помнить, что любой рисунок на листе бумаги - это проекция трехмерной фигуры. Следовательно, любая фигура, нарисованная на листе бумаги, должна существовать в трехмерном пространстве. Невозможные объекты на картинах представляют собой проекции трехмерных объектов, а значит, объекты можно реализовать в виде скульптурных композиций (трехмерных объектов). Существует множество способов их создания. Один из них - использование кривых линий в качестве сторон невозможного тре-угольника. Созданная скульптура выглядит невозможной только из единственной точки. Из этой точки кривые стороны выглядят прямыми, и поставленная цель будет достигнута - создан реальный "невозможный " объект.

О пользе имп-арта

Оскар Рутесвард рассказывает в книге "Omojliga figurer" (есть русский перевод) об использовании рисунков имп-арта для психотерапии. Он пишет, что картины своими парадоксами вызывают удивление, заостряют внимание и желание расшифровать. В Швеции их применяют в зубоврачебной практике: рассматривая картины в приемной, пациенты отвлекаются от неприятных мыслей перед кабинетом стоматолога. Вспоминая, сколько времени приходится ждать приема в различного рода российских бюрократических и иных заведениях, можно предположить, что невозможные картины на стенах приемных могут скрашивать время ожидания, успокаивая посетителей и тем самым снижая социальную агрессию. Другим вариантом была бы установка в приемных игровых автоматов или, к примеру, манекенов с соответствующими физиономиями в качестве мишеней для дартса, но, к сожалению, подобного рода новации в России никогда не поощрялись.

Использование феномена восприятия

Можно ли как-нибудь усилить эффект невозможности? "Невозможнее" ли одни объекты, чем другие? И тут на помощь приходят особенности человеческого восприятия. Психологами установлено, что глаз начинает осмотр объекта (картины) с левого нижнего угла, затем взгляд скользит направо к центру и опускается в правый нижний угол картины. Такая траектория, возможно, связана с тем, что наши предки при встрече с противником сначала смотрели на самую опасную правую руку, а затем взгляд перемещался влево, на лицо и фигуру. Таким образом, художественное восприятие будет существенно зависеть от того, как строится композиция картины. Эта особенность в Средние века ярко проявилась при изготовлении гобеленов: их рисунок был зеркальным отражением оригинала, и впечатление, которое производят гобелены и оригиналы, различается.

Данное свойство можно с успехом использовать при создании творений с невозможными объектами, увеличивая или уменьшая "степень невозможности". Открывается также перспектива получать интересные композиции с использованием компьютерных технологий либо из нескольких картин, повернутых (может быть, с использованием различного вида симметрий) одна относительно другой, создающих у зрителей различное впечатление от объекта и более глубокое понимание сущности замысла, либо из одной, поворачивающейся (постоянно или рывками) при помощи нехитрого механизма на некоторые углы.

Такое направление можно назвать полигональным (многоугольным). На иллюстрациях представлены изображения, повернутые одно относительно другого. Композиция создавалась следующим образом: рисунок на бумаге, выполненный тушью и карандашом, сканировался, переводился в цифровую форму и обрабатывался в графическом редакторе. Можно отметить закономерность - повернутая картинка обладает большей "степенью невозможности", чем исходная. Это легко объяснимо: художник в процессе работы подсознательно стремится создать "правильное" изображение.

Комбинации, комбинации

Существует группа невозможных объектов, скульптурная реализация которых невозможна. Самая, пожалуй, известная из них - "невозможный трезубец", или "чертова вилка" (Р3-1). Если внимательно присмотреться к объекту, можно заметить, что три зубца постепенно переходят в два на общем основании, приводя к конфликту восприятия. Мы сравниваем число зубцов сверху и снизу и приходим к выводу о невозможности объекта. На основе "вилки" создано великое множество невозможных объектов, в том числе таких, где цилиндрическая на одном конце деталь становится квадратной на другом.

Помимо этой иллюзии существует много других видов оптических обманов зрения (иллюзии размера, движения, цвета и т.д.). Иллюзия восприятия глубины - одна из самых давнишних и известных оптических иллюзий. К этой группе принадлежит куб Неккера (1832), а в 1895 году Арманд Тьерри (Armand Thiery) опубликовал статью об особом виде невозможных фигур. В этой статье впервые нарисован объект, впоследствии получивший имя Тьерри и бесчисленное множество раз использованный художниками оп-арта. Объект состоит из пяти одинаковых ромбов со сторонами 60 и 120 градусов. На рисунке можно увидеть два куба, соединенные по одной поверхности. Если вести взгляд снизу вверх, отчетливо виден нижний куб с двумя стенками вверху, а если вести взгляд сверху вниз - верхний куб со стенками внизу.

Самая простая фигура из Тьерри-подобных - это, по-видимому, иллюзия "пирамида-проем" , представляющая собой правильный ромб с линией посередине. Нельзя сказать точно, что мы видим - пирамиду, возвышающуюся над поверхностью, или проем (впадину) на ней. Этот эффект использован в графике "Лабиринт (План пирамиды)" 2003 года. Картина получила диплом на международной математической конференции и выставке в Будапеште в 2003 году "Ars(Dis)Symmetrica"03". В работе использованы сочетания иллюзии восприятия глубины и невозможных фигур.

В заключение можно сказать, что направление имп-арт как составная часть оптического искусства активно развивается, и в ближайшее время нас, несомненно, ожидают новые открытия в этой области.

ЛИТЕРАТУРА

Рутесвард О. Невозможные фигуры. - М.: Стройиздат, 1990.

Подписи к иллюстрациям

Илл. 1. Таблица, построенная автором статьи, не претендует на полноту и строгий порядок, но дает возможность оценить все многообразие невозможных фигур. В таблице более 300 тысяч комбинаций различных элементов. В качестве иллюстраций использована графика автора статьи и материалы сайта Влада Алексеева.

Что такое невозможные фигуры?
Введя такой вопрос в поисковую систему, мы получим ответ: «Невозможная фигура — один из видов оптических иллюзий, фигура, кажущаяся на первый взгляд проекцией обычного трёхмерного объекта, при внимательном рассмотрении которой становятся видны противоречивые соединения элементов фигуры. Создаётся иллюзия невозможности существования такой фигуры в трёхмерном пространстве. (Википедия)»
Думаю, для представления и осознания этого понятия нам будет недостаточно такого ответа, поэтому попробуем лучше изучить этот вопрос. И начнем, пожалуй, с истории.

История
В старинной живописи можно встретить такое частое явление как искаженная перспектива. Именно она создавала иллюзию невозможности существования объекта. На картине Питера Брейгеля Старшего «Сорока на виселице» такой фигурой является сама виселица. Но в то время создание подобных «небылиц» — это был не полет фантазии, а скорее все же неумение строить правильно перспективу.

Большой интерес к невозможным фигурам проснулся в ХХ веке.

Шведский художник Оскар Рутесвард, увлеченный созданием чего-то парадоксального и противоречащего законам евклидовой геометрии, создал такие работы: составленный из кубов треугольник «Opus 1», а позже «Opus 2B».

В 50-х годах ХХ века вышла статья британского математика Роджера Пенроуза, посвящённая особенностям восприятия пространственных форм, изображённых на плоскости. Статья заинтересовала большой круг лиц: психологи стали изучать, как наш разум воспринимает такие явления, ученые взглянули на эти невозможные фигуры как на объекты с особыми топологическими характеристиками. Появился Имп-арт (impossible art) или импоссибилизм — направление в искусстве, в основе которого лежит создание оптических иллюзий и невозможных фигур.

Статья Пенроуза вдохновила Маурица Эшера создать несколько литографий, которые принесли ему известность как художнику-иллюзионисту. Одна из его самых известных работ «Относительность». Эшер изобразил модель «бесконечной лестницы» Пенроузов.

Рождер Пенроуз и его отец Лайонел Пенроуз изобрели лестницу, которая делает поворот на 90 градусов и замыкается. Поэтому человек, если бы ему вздумалось по ней взойти, не смог бы подняться выше. На рисунке ниже видно, что собака и человек стоят на одном уровне, что тоже добавляет рисунку невозможности. Если персонажи пойдут по часовой стрелке, то будут постоянно спускаться, а если против часовой — подниматься.

Нельзя не отметить невозможный куб Эшера, который кажется невозможным, потому что человеческому глазу свойственно воспринимать двумерные изображения как трёхмерные объекты (подробнее об Эшере можно почитать ).

А также классический пример невозможной фигуры — Трезубец. Он представляет собой фигуру с тремя круглыми зубцами на одном конце и прямоугольными — на другом. Такой эффект достигается за счет того, что трудно однозначно сказать, где тут передний план, а где задний.

В настоящее время процесс создания невозможных фигур продолжается. Ниже приведены некоторые из них (имя создателя -- под фигурой).

А также невозможно не отметить прекрасные невозможные фигуры, созданные нашим земляком, омичом Анатолием Коненко . Например:

А можно ли увидеть «невозможные фигуры» в реальной жизни?

Многие скажут, что невозможные фигуры действительно нереальны и не могут быть воссозданы. Другие же будут утверждать, что чертеж, изображенный на листе бумаги, является проекцией трехмерной фигуры на плоскость. Следовательно, любая фигура, нарисованная на листе бумаги, должна существовать в трехмерном пространстве. Так кто же прав?

Вторые будут ближе к правильному ответу. Действительно, увидеть «такие» фигуры в реальности можно, необходимо лишь смотреть на них с определенной точки. С помощью картинок ниж, можно убедиться в этом.

Джерри Андрус и его невозможный куб:

Невозможное сцепление шестеренок, тоже воплощенное в реальность Джерри Андрусом.

Скульптура Треугольника Пенроуза (г.Перт, Австралия), все стороны которого перпендикулярны друг другу.

А так скульптура выглядит с другой стороны.

Если вам нравятся невозможные фигуры, можно полюбоваться на них

Многие считают, что невозможные фигуры действительно невозможны, и они не могут быть созданы в реальном мире. Однако из школьного курса геометрии нам известно, что чертеж, изображенный на листе бумаги, является проекцией трехмерной фигуры на плоскость. Следовательно, любая фигура, нарисованная на листе бумаги должна существовать в трехмерном пространстве. Причем трехмерных объектов, при проецировании на плоскость которых, получается заданная плоская фигура бесконечное множество. Это же относится и к невозможным фигурам.

Конечно, ни одну из невозможных фигур нельзя создать, действуя прямолинейно. Например, если вы возьмете три одинаковых деревянных бруска, вы не сможете совместить их так, чтобы получился невозможный треугольник. Однако, при проецировании трехмерной фигуры на плоскость некоторые линии могут становиться невидимыми, перекрывать друг друга, стыковаться друг с другом и т.п. Исходя из этого, мы можем взять три различных бруска и составить треугольник, представленный на фотографии ниже (рис. 1). Данная фотография создана известным популяризатором работ М.К. Эшера, автором большого количества книг Бруно Эрнстом. На переднем плане фотографии мы видим фигуру невозможного треугольника. На заднем плане установлено зеркало, в котором отражается та же фигура с другой точки зрения. И мы видим, что на самом деле фигура невозможного треугольника является не замкнутой, а разомкнутой фигурой. И только с той точки, с которой мы обозреваем фигуру кажется, что вертикальный брусок фигуры заходит за горизонтальный брусок, вследствие чего фигура кажется невозможной. Если бы мы сместили угол обзора немного, ты нам сразу бы стал виден разрыв в фигуре, и она потеряла бы свой эффект невозможности. Тот факт, что невозможная фигура выглядит невозможной только с одной точки зрения характерен для всех невозможных фигур.

Рис. 1. Фотография невозможного треугольника, сделанная Бруно Эрнстом.

Как уже было сказано выше, количество фигур, соответствующих заданной проекции, бесконечное множество, поэтому вышеприведенный пример является не единственным способом построения невозможного треугольника в реальности. Бельгийский художник Матье Хемакерз (Mathieu Hamaekers) создал скульптуру, представленную на рис. 2. Фотография слева показывает фронтальный вид фигуры, при котором она выглядит невозможным треугольником, центральная фотография показывает ту же фигуру, повернутую на 45°, а фотография справа – фигуру, повернутую на 90°.

Рис. 2. Фотография фигуры невозможного треугольника Матье Хемакерза.

Как можно заметить, в данной фигуре вообще нет прямых линий, все элементы фигуры изогнуты определенным образом. Однако, как и в предыдущем случае эффект невозможности заметен лишь при одном угле обзора, когда все изогнутые линии проецируются в прямые, и, если не обращать внимания на некоторые тени, фигура выглядит невозможной.

Еще один способ создания невозможного треугольника был предложен русским художником и конструктором Вячеславом Колейчуком и опубликован в журнале "Техническая эстетика" №9 (1974). Все ребра данной конструкции являются прямыми линиями, а грани изогнуты, хотя на фронтальном виде фигуры этой изогнутости не видно. Он создал такую модель треугольника из дерева.

Рис. 3. Модель невозможного треугольника Вячеслава Колейчука.

Позже эта модель была воссоздана сотрудником факультета компьютерных наук института Technion в Израиле Элбером Гершоном (Gershon Elber). Его вариант (см. рис. 4) был сначала спроектирован на компьютере, а затем воссоздан в реальности при помощи трехмерного принтера. Если сместить немного угол обзора невозможного треугольника, то мы увидим фигуру, подобную второй фотографии на рис. 4.

Рис. 4. Вариант построения невозможного треугольника Элбера Гершона.

Стоит отметить, что если бы мы смотрели сейчас на сами фигуры, а не на их фотографии, то мы бы сразу увидели, что ни одна из представленных фигур не является невозможной, и в чем заключается секрет каждой из них. Мы бы просто не смогли бы увидеть эти фигуры невозможными, так как мы обладаем стереоскопическим зрением. То есть наши глаза, расположенные на определенном расстоянии друг от друга, видят один и тот же объект с двух близких, но все же разных, точек зрения, и наш мозг, получив два изображения от наших глаз совмещает их в единую картину. Ранее было сказано, что невозможный объект выглядит невозможным только с единственной точки зрения, а так как мы обозреваем объект с двух точек зрения, то мы сразу же видим те уловки, при помощи которых создан тот или иной объект.

Значит ли это, что в реальности все же увидеть невозможный объект нельзя? Нет, можно. Если вы закроете один глаз и будете смотреть на фигуру, то она будет выглядит невозможной. Поэтому в музеях при демонстрации невозможных фигур заставляют посетителей смотреть на них сквозь небольшое отверстие в стене одним глазом.

Существует и еще один способ, при помощи которого можно увидеть невозможную фигуру, причем двумя глазами сразу. Заключается он в следующем: необходимо создать огромную фигуру высотой с многоэтажный дом, расположить ее на обширном открытом пространстве и смотреть на нее с очень большого расстояния. В этом случае, даже смотря на фигуру двумя глазами, вы будете воспринимать ее как невозможную вследствие того, что оба ваших глаза будут получать изображения практически ничем не отличающиеся друг друга. Такая невозможная фигура была создана в австралийском городе Перт .

Если невозможный треугольник относительно несложно сконструировать в реальном мире, то совсем создать невозможный трезубец в трехмерном пространстве не так-то просто. Особенностью этой фигуры является наличие противоречия между передним и задним планом фигуры, когда отдельные элементы фигуры плавно преходят в фон, на котором расположена фигура.

Рис. 5. Конструкция подобная невозможному трезубцу.

В Институте Глазной Оптики в городе Аахен (Германия) смогли решить эту задачу, создав специальную установку. Конструкция состоит из двух частей. В передней части расположены три круглые колонны и строитель. Эта часть освещается только внизу. За колоннами расположено полупроницаемое (half-permeable) зеркало с отражающим слоем, расположенным спереди, то есть зритель не видит то, что находится за зеркалом, а видит в нем только отражение колонн.

Рис. 6. Схема установки, воспроизводящий невозможный трезубец.